Encadrer une intégrale

Exercice 1

Le plan est muni du repère orthogonal suivant.
\(\mathscr C\) est la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie sur \([-5~;~5]\) .

On pose \(A=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \text{ d}x\) . Un encadrement de \(A\) est : 
    a. \(0 < A < 1\)   
    b. \(1 < A < 2\)            
    c. \(3 < A < 4\)              
    d. \(4 < A < 5\)

Exercice 2  

Démontrer les inégalités suivantes.

1.  \(\displaystyle \int_{\frac13}^1 \ln(t) \text{ d}t \geqslant -\dfrac23\ln(3)\) .

2.  \(\displaystyle \int_{2}^3 \dfrac{1}{1+x^2} \text{ d}x \leqslant \dfrac15\) .

Exercice 3

Démontrer les encadrements suivants.

1.  \(\displaystyle \dfrac34 \leqslant \int_{1}^4 \dfrac{1}{2+\sqrt{t}} \text{ d}t \leqslant 1\) .

2.  \(\displaystyle \dfrac14\leqslant \int_{1}^2 \dfrac{1}{1+x^3} \text{ d}x \leqslant 1\) .

3.  \(\displaystyle 6\ln(3) \leqslant \int_{2}^8 \ln(x+1)\text{ d}x \leqslant 12\ln(3)\) .